درسنامه آموزشی ریاضی (1) کلاس دهم ریاضی و تجربی

1- همان طور که دیدید، با پنج رقم $1$ ، $2$ ، $3$ ، $4$ و $5$ تعداد $\frac{5!}{(5-3)!}$ عدد سه رقمی با رقم‌های غیرتکراری می‌توان نوشت که عبارت‌اند از:

345	245	235	234	145	135	134	125	124	123
354	254	253	243	154	153	143	152	142	132
435	425	325	324	415	315	314	215	214	213
453	452	352	342	451	351	341	251	241	231
534	524	523	423	514	513	413	512	412	312
543	542	532	432	541	531	431	521	421	321

به شش عدد هر ستون نگاه کنید. چه ویژگی‌ای دارند؟
همگی آنها با سه رقم خاص ساخته شده‌اند. در واقع با جابجایی (جایگشت) 3 رقم خاص از میان پنج عدد 1 و 2 و 3 و 4 و5 به دست آمده‌اند. 
2- با توجه به ستون‌های جدول بالا چگونه می‌توانیم تمام زیر مجموعه‌های سه عضویِ مجموعهٔ $A=\{1,2,3,4,5\}$ را نویسیم؟
این زیر مجموعه‌ها چندتا هستند؟ آنها را بنویسید.
10 زیر مجموعه سه عضوی می‌توان نوشت:

$\{1,2,3\},\{1,2,4\},\{1,2,5\},\{1,3,4\},\{1,3,5\},\{1,4,5\},\{2,3,4\},\{2,3,5\},\{2,4,5\},\{3,4,5\}$

3- چه تفاوتی در فعالیت 1 و 2 وجود داشت که تعداد حالت‌های مورد نظر آنها را متمایز کرد؟
در فعالیت 1 جایگاه سه رقم انتخاب شده از میان 5 عدد مهم است ولی در فعالیت 2 نه.
4- هر ستون در فعالیت 1 چند زیر مجموعهٔ سه عضوی از فعالیت 2 را به دست می‌دهد؟
یک زیر مجموعه سه عضوی.
5- با توجه به فعالیت 4، از تقسیم جواب فعالیت 1 بر چه عددی تعداد زیر مجموعه‌های فعالیت 2 حاصل می‌شود؟ این عدد را چگونه می‌توان به دست آورد؟
با تقسیم جواب فعالیت 1 بر عدد 6 تعداد زیر مجموعه‌های فعالیت 2 حاصل می‌شود. عدد 6 همان تعداد جایگشت‌های 3 عدد مختلف است.

1- در کدام یک از موارد زیر، ترتیب قرار گرفتن اشیاء اهمیت دارد و باید تعداد جایگشت‌های $r$ از $n$ شیء متمایز مشخص شود و در کدام یک ترتیب قرار گرفتن اشیا اهمیت ندارد و باید تعداد ترکیب‌های $r$تایی از $n$ شیء متمایز مشخص شود؟
 الف) ساختن کلمه‌ای سه حرفی بدون حرف تکراری با 5 حرف متمایز (بامعنی و بی معنی).
ترتیب اشیاء مهم است و تعداد حالت‌ها برابر است با:

$p(5,3)=\frac{5!}{2!}=\frac{120}{2}=60$

ب) انتخاب سه شاخه گل از بین پنج شاخه گل متمایز.
ترتیب انتخاب اهمیتی ندارد و تعداد حالت‌ها برابر است با:
پ) انتخاب یک دفاع چپ، یک دفاع راست و یک دفاع وسط از بین هفت $\left( \begin{matrix}
   5  \\
   3  \\
\end{matrix} \right)=\frac{5!}{3!2!}=10$ مدافع که همگی در تمامی پست‌ها توانایی بازی دارند.
ترتیب اشیاء مهم است. زیرا جایگاه افراد مشخص شده است. داریم:

طریق $p(7,3)=\frac{7!}{4!}=7\times 6\times 5=210$

ت) از بین هفت بازیکن دفاعی یک تیم سه نفر قرار است از تیم کنار گذاشته شوند.

$\left( \begin{matrix}
   7  \\
   3  \\
 \end{matrix} \right)=\frac{7!}{4!3!}=35$
طریق

ث) ده نفر در یک دوره مسابقات شرکت خواهند کرد و سه نفر اول به المپیک راه خواهند یافت.
چون جایگاه اهمیتی ندارد و تنها انتخاب سه نفر اول مهم است، پس ترتیب اهمیتی ندارد و داریم:

$\left( \begin{matrix}
   10  \\
   3  \\
\end{matrix} \right)=\frac{10!}{7!3!}=120$

ج) ده نفر در یک مسابقه شرکت کرده‌اند و قرار است به نفرات اول تا سوم به ترتیب مدال‌های طلا، نقره و برنز داده شود.
ترتیب مهم است زیرا جنس مدال‌های نفرات اول تا سوم متفاوت است. بنابراین با مسئله تعداد جایگشت‌های 3 شیء از 10 شیء مواجهیم:

$p(10,3)=\frac{10!}{7!}=10\times 9\times 8=720$

2 در هر کدام از موارد «کار در کلاس 1» تعداد حالت‌های ممکن را بنویسید. (نیاز به ساده کردن جواب نیست)
در کار در کلاس 1 پاسخ داده شد.
3- از میان 8 ریاضی‌دان و 6 فیزیک دان و 5 شیمی دان قرار است کمیته‌ای علمی انتخاب شود. به چند طریق این کمیته می‌تواند انتخاب شود هرگاه:
الف) کمیتهٔ 6 نفره باشد و از هر رشته 2 نفر در آن عضو باشند؟

ب) کمیتهٔ 3 نفره باشد و از هر رشته حداقل یک نفر در آن عضو باشند؟
چون سه رشته مختلف داریم، حداقل یک نفر از هر رشته همان دقیقاً یک نفر از هر رشته است:

پ) کمیتهٔ 2 نفره باشد و حداقل یک ریاضی‌دان در آن باشد؟
(دو ریاضی‌دان) یا (یک غیر ریاضی‌دان) و (یک ریاضی‌دان)= حداقل یک ریاضی‌دان

$\Rightarrow \left( \begin{matrix}
   8  \\
   1  \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
   11  \\
   1  \\
\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}
   8  \\
   2  \\
\end{matrix} \right)=8\times 11+28=116$

از بین دو مدرس ریاضی، دو مدرس فیزیک و دو مدرس شیمی، قرار است یک کمیتهٔ دو نفره انتخاب شود، به گونه‌ای که دو نفر انتخاب شده هم رشته نباشند. چند حالت برای انجام این کار وجود دارد؟
به جواب‌های چند دانش آموز به سؤال بالا که در زیر آمده است، دقت کنید.
محمد: از دو رشته باید هر کدام یک نفر انتخاب شوند و از رشتهٔ سوم کسی انتخاب نشود؛
لذا سه حالت زیر را می‌توان در نظر گرفت:
ریاضی یک نفر انتخاب شود؛ فیزیک یک نفر انتخاب شود و شیمی کسی انتخاب نشود.

$\left( \begin{matrix}
   2  \\
   1  \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
   2  \\
   1  \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
   2  \\
   0  \\
\end{matrix} \right)=2\times 2\times 1=4$

ریاضی یک نفر انتخاب شود؛ فیزیک کسی انتخاب نشود و شیمی یک نفر انتخاب شود.

$\left( \begin{matrix}
   2  \\
   1  \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
   2  \\
   0  \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
   2  \\
   1  \\
\end{matrix} \right)=2\times 1\times 2=4$

ریاضی کسی انتخاب نشود؛ فیزیک یک نفر انتخاب شود و شیمی هم یک نفر انتخاب شود.

$\left( \begin{matrix}
   2  \\
   0  \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
   2  \\
   1  \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
   2  \\
   1  \\
\end{matrix} \right)=1\times 2\times 2=4$

پس در کل $4+4+4=12$ حالت امکان دارد.
پژمان: می‌توان روش محمد را خلاصه‌تر کرد؛ یعنی در یک مرحله ابتدا تعداد حالت‌های انتخاب دو رشته‌ای را که قرار است از آنها کسی انتخاب شود، محاسبه می‌کنیم که به $\left( \begin{matrix}
   3  \\
   2  \\
\end{matrix} \right)$ راه امکان دارد. حال از هر کدام از دو رشتهٔ انتخاب شده به دو راه می‌توان یک فرد انتخاب کرد؛ لذا جواب برابر است با : $\left( \begin{matrix}
   3  \\
   2  \\
\end{matrix} \right)\times 2\times 2=12$.
حمید: ولی به نظر من مستقیماً با اصل ضرب به روش زیر می‌توان آن را حل کرد. اولین فرد انتخاب شونده می‌تواند هر کدام از 6 نفر باشد؛ پس 6 حالت برای انتخاب اولین فرد وجود دارد. اما وقتی اولین فرد انتخاب شد، دومین فردی که قرار است انتخاب شود، نمی‌تواند هم رشتهٔ او باشد؛ پس برای انتخاب دومین فرد چهار راه وجود دارد. بنابراین تعداد کل راه‌های انتخاب برابر $6\times 4=24$ حالت است.
- دو نفر مدرس ریاضی را ${{M}_{1}}$ و ${{M}_{2}}$، دو نفر مدرس فیزیک را ${{P}_{1}}$ و ${{P}_{2}}$، و دو نفر مدرس شیمی را ${{C}_{1}}$ و ${{C}_{2}}$ درنظر بگیرید و تمام حالت‌های ممکن برای آنها را بنویسید و جواب غلط را مشخص کنید. نمودار درختی جواب غلط را بکشید. سپس علت غلط بودن آن را مشخص کنید.

$ \begin{align}
  & \{{{M}_{1}},{{P}_{1}}\},\{{{M}_{1}},{{C}_{1}}\},\{{{M}_{2}},{{P}_{1}}\},\{{{M}_{2}},{{C}_{1}}\},\{{{M}_{1}},{{P}_{2}}\},\{{{M}_{1}},{{C}_{2}}\},\{{{M}_{2}},{{P}_{2}}\} \\ 
 & \{{{M}_{2}},{{C}_{2}}\},\{{{P}_{1}},{{C}_{1}}\}\{{{P}_{2}},{{C}_{1}}\},\{{{P}_{1}},{{C}_{2}}\},\{{{P}_{2}},{{C}_{2}}\}, \\ 
\end{align}$

جواب حمید اشتباه است و علت غلط بودنش این است که انتخاب $\{{{C}_{1}},{{M}_{1}}\}$ را با انتخاب $\{{{M}_{1}},{{C}_{1}}\}$ دو حالت مجزا در نظر گرفته است. (برای آنها ترتیب در نظر گرفته است.) بنابراین تعداد جواب‌های او دو برابر تعداد واقعی است.

1- می‌دانیم که $\left( \begin{matrix}
   n  \\
   r  \\
\end{matrix} \right)$ همان تعداد زیر مجموعه‌های $r$تایی از یک مجموعهٔ $n$ عضوی است. حال $\left( \begin{matrix}
   n  \\
   0  \\
\end{matrix} \right)$ و $\left( \begin{matrix}
   n  \\
   1  \\
\end{matrix} \right)$ را یک بار با توجه به این تعبیر از $\left( \begin{matrix}
   n  \\
   r  \\
\end{matrix} \right)$، و یک بار با فرمول، به دست آورید.
$\left( \begin{matrix}
   n  \\
   0  \\
\end{matrix} \right)$ یعنی تعداد زیر مجموعه­‌های صفر عضوی (بدون عضو) یک مجموعه nعضوی که همان مجموعه تهی می‌­شود و تعداد آن یکی است. $\left( \begin{matrix}
   n  \\
   1  \\
\end{matrix} \right)$ تعداد زیر مجموعه‌های یک عضوی یک مجموعه $n$ عضوی است که تعداد آن $n$ تا است. پس:

$\left( \begin{matrix}
   n  \\
   1  \\
\end{matrix} \right)=n\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}\left( \begin{matrix}
   n  \\
   0  \\
\end{matrix} \right)=1$

از نظر فرمولی داریم:

$\left( \begin{matrix}
   n  \\
   0  \\
\end{matrix} \right)=\frac{n!}{(n-0)!0!}=\frac{n!}{n!}=1$  
$\left( \begin{matrix}
   n  \\
   1  \\
\end{matrix} \right)=\frac{n!}{(n-1)!\times 1!}=\frac{n!}{(n-1)!}=n$

2- الف) یک مربی قصددارد از بین بازیکنان شماره‌های 5 و 4 و 3 و 2 و 1، سه نفر را برای رفتن به زمین بازی انتخاب کند. چند حالت برای این کار امکان دارد؟

$\left( \begin{matrix}
   5  \\
   3  \\
\end{matrix} \right)=\frac{5!}{(5-3)!3!}=\frac{5\times 4}{2}=10$
 حالت امکان پذیر است.

با پرکردن جدول مقابل تمام حالات را نمایش دهید.

به زمین نمی‌روند.	به زمین می‌روند.
$4,5$	$1,2,3$
$3,5$	$1,2,4$
$3,4$	$1,2,5$
$1,5$	$2,3,4$
$1,4$	$2,3,5$
$1,2$	$3,4,5$
$2,5$	$1,3,4$
$2,4$	$1,3,5$
$1,3$	$2,4,5$
$2,3$	$1,4,5$

ب) این بار این مربی قصد دارد از بین همان بازیکنان دو بازیکن انتخاب کند که روی نیمکت بنشینند. چه انتخاب‌هایی دارد؟
$\left( \begin{matrix}
   5  \\
   2  \\
\end{matrix} \right)$ حالت امکان ندارد.

$\begin{align}
  & \{4,5\},\{3,5\},\{3,4\},\{1,5\},\{1,4\} \\ 
 & \{1,2\},\{2,5\},\{2,4\},\{1,3\},\{2,3\} \\ 
\end{align}$

پ) بین تعداد انتخاب‌های $\left( \begin{matrix}
  5  \\
   2  \\
\end{matrix} \right)$ و $\left( \begin{matrix}
   5  \\
   3  \\
\end{matrix} \right)$ چه رابطه‌ای هست؟ چگونه این رابطه را توجیه می‌کنید؟
$\left( \begin{matrix}
   5  \\
   2  \\
\end{matrix} \right)$ و $\left( \begin{matrix}
   5  \\
   3  \\
\end{matrix} \right)$ با هم برابرند. دلیل برابری این دو این است که $\left( \begin{matrix}
   5  \\
   3  \\
\end{matrix} \right)$ یعنی تعداد انتخاب‌های 3 شیء از میان 5 شیء متمایز که این با تعداد روش‌های حذف 2 شیء از میان همان 5 شیء متمایز یعنی $\left( \begin{matrix}
   5  \\
   2  \\
\end{matrix} \right)$ هم معنی است و برابر است.
ت) درستی تساوی $\left( \begin{matrix}
   n  \\
   r  \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
   n  \\
   n-r  \\
\end{matrix} \right)$ را یک بار با استفاده از توجیه بالا و یک بار با استفاده از فرمول بررسی کنید.
دلیل برابر این است که روش انتخاب $r$ شیء از میان $n$ شیء با روش حذف $(n-r)$ شیء از میان $n$ شیء یکی است.

$\left( \begin{matrix}
   n  \\
   r  \\
\end{matrix} \right)=\frac{n!}{(n-r)!r!}\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}\left( \begin{matrix}
   n  \\
   n-r  \\
\end{matrix} \right)=\frac{n!}{(n-(n-r)!(n-r)!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\Rightarrow \left( \begin{matrix}
   n  \\
   r  \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
   n  \\
   n-r  \\
\end{matrix} \right)$

3- جاهای خالی را پرکنید.
الف) تعداد زیر مجموعه‌های 5 عضوی از مجموعه حروف انگلیسی برابر است  با: $\left( \begin{matrix}
   26  \\
   5  \\
\end{matrix} \right)$
ب) تعداد زیر مجموعه‌های 5 عضوی از مجموعه حروف انگلیسی که حرف $a$ در آنها هست برابر است با: $\left( \begin{matrix}
   25  \\
   4  \\
\end{matrix} \right)$
حرف $a$ انتخاب شده است، پس از بین 25 حرف باقی مانده باید 4 حرف دیگر انتخاب کنیم.
پ) تعداد زیر مجموعه‌های 5 عضوی از مجموعه حروف انگلیسی که حرف $a$ در آنها نیست برابر است با: $\left( \begin{matrix}
   26  \\
   5  \\
\end{matrix} \right)$
حرف $a$ را از 26 حرف حذف می‌کنیم و از باقی‌مانده 5 حرف انتخاب می‌کنیم.
ت) بنابراین: $\left( \begin{matrix}
   26  \\
   5  \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
   25  \\
   4  \\
\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}
   25  \\
   5  \\
\end{matrix} \right)$
4- فرض کنیم $A$ یک مجموعهٔ $n$ عضوی و $a$ یکی از اعضای آنها باشد. $(a\in A)$
الف) تعداد زیر مجموعه‌های $r$ عضوی مجموعهٔ $A$ برابر است با: $\left( \begin{matrix}
   n  \\
   r  \\
\end{matrix} \right)$
ب)  تعداد زیر مجموعه‌های $r$ عضوی $A$ که  $a$ در آنها هست برابر است با: $\left( \begin{matrix}
   n-1  \\
   r-1  \\
\end{matrix} \right)$
پ)  تعداد زیر مجموعه‌های $r$ عضوی $A$ که $a$ در آنها نیست برابر است با: $\left( \begin{matrix}
   n-1  \\
   r  \\
\end{matrix} \right)$
ت) بنابراین: $\left( \begin{matrix}
   n  \\
   r  \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
   n-r  \\
   r-1  \\
\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}
   n-r  \\
   r  \\
\end{matrix} \right)$

1- یک فروشندهٔ تنقلات در فروشگاه خود، پسته، بادام، گردو، تخمهٔ کدو، تخمهٔ ژاپنی، نخودچی و کشمش دارد. از نظر او در یک آجیل حداقل پنج نوع از تنقلات فوق باید وجود داشته باشد. او با تنقلات موجود در فروشگاهش چند نوع آجیل می‌تواند درست کند؟
او می‌­تواند 21 نوع آجیل درست کند:

$\left( \begin{matrix}
   7  \\
   5  \\
\end{matrix} \right)=\frac{7!}{2!5!}=21$

2- یک اداره دارای 18 عضو است. این اداره دارای 1 رئیس، 3 معاون، 2 حسابدار، 6 کارشناس اداری، 3 کارمند کارگزینی و 3 کارشناس امور حقوقی است. این اداره ماهانه باید جلسه‌ای 5 نفره جهت بررسی و تصویب آخرین طرح‌های پیشنهادی برگزار کند. به چند طریق این گروه 5 نفره می‌تواند انتخاب شود، هرگاه:
الف) رئیس و دقیقاً یک کارشناس امور حقوقی در جلسه باشند؟

ب) رئیس و دقیقاً یک معاون و یک کارشناس امور حقوقی در جلسه باشند؟

پ) رئیس و دقیقاً یک معاون، یک حسابدار و یک کارشناس امور حقوقی در جلسه باشند؟

3- در یک کلاس تعدادی از دانش آموزان که همگی دارای شرایط علمی خوبی‌اند، داوطلب حضور در مسابقات علمی مدرسه هستند. معلم قصد دارد 2 نفر را به تصادف انتخاب کند. او این دو نفر را به 28 روش می‌تواند از بین داوطلبان انتخاب کند. تعداد داوطلبان چند نفر بوده است؟
فرض کنیم تعداد افراد داوطلب n نفر بوده است:

$\left( \begin{matrix}
   n  \\
   2  \\
\end{matrix} \right)=28\Rightarrow \frac{n!}{(n-2)!2!}=28\Rightarrow \frac{n(n-1)}{2}=28\Rightarrow n(n-1)=56$

حاصل ضرب دو عدد طبیعی متوالی 56 شده است. یکی 7 و دیگری 8 است. پس $n=8$ است. یعنی تعداد داوطلبان 8 نفر است.
4- گل فروشی در فروشگاه خود 10 نوع گل مختلف دارد. او در هر دسته گل از 3 تا 5 شاخه گل متمایز قرار می‌دهد. او چند دسته گل مختلف می‌تواند درست کند؟
دسته‌های گل فروش 3 شاخه گل یا 4 شاخه گل یا 5 شاخه گل دارند. پس داریم:

تعداد روش‌های ساختن دسته گل
$=\left( \begin{matrix}
   10  \\
   3  \\
\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}
   10  \\
   4  \\
\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}
   10  \\
   5  \\
\end{matrix} \right)=120+210+252=582$
 

او 582 دسته گل مختلف می‌­تواند درست کند.
5- یک نقاش قوطی‌هایی از 4 رنگ قرمز، آبی، زرد و مشکی دارد. اگر او با ترکیب دو یا چند قوطی از رنگ‌های متمایز بتواند دقیقاً یک رنگ جدید به دست آورد، او چند رنگ می‌تواند داشته باشد؟
تعداد کل رنگ‌های مختلف ترکیبی= ترکیب 4 رنگ یا ترکیب 3 رنگ یا ترکیب 2 رنگ

15 رنگ مختلف $\left( \begin{matrix}
   4  \\
   2  \\
\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}
   4  \\
   3  \\
\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}
   4  \\
   4  \\
\end{matrix} \right)=6+4+1=11\Rightarrow 11+4=15$

چرا با اینکه در کارهای هنری فقط از همین 4 رنگ استفاده می‌شود، اما تعداد رنگ‌های حاصل بیشتر از جواب شماست؟
چون نسبت مقدار هر رنگ به رنگ‌های دیگر در هر ترکیب روی نوع رنگ حاصل تأثیر دارد و آن را تغییر می‌دهد.
6- هفت نقطهٔ $A$ و $B$ و $C$ و‌ $D$ و $E$ و $F$ و $G$ و روی محیط یک دایره قرار دارند. چند مثلث مختلف می‌توان کشید که رئوس آن از این هفت نقطه انتخاب شده باشند؟
با انتخاب هر 3 نقطه از بین این هفت نقطه می‌توان یک مثلث ایجاد کرد. پس تعداد مثلث‌ها $\left( \begin{matrix}
   7  \\
   3  \\
\end{matrix} \right)$ تاسات یعنی 35 مثلث می‌توان کشید.

$\left( \begin{matrix}
   7  \\
   3  \\
\end{matrix} \right)=\frac{7!}{(7-3)!3!}=\frac{7\times 6\times 5}{3!}=35$

7- یک آشپز ده نوع ادویه دارد. او با استفاده از هر 3 تا از این ادویه‌ها یک طعم مخصوص درست می‌کند. این آشپز چند طعم می‌تواند درست کند هرگاه:
الف) هیچ محدودیتی در استفاده از ادویه ها نداشته باشد؟ نوع $\left( \begin{matrix}
   10  \\
   3  \\
\end{matrix} \right)=120$
ب) دو نوع ادویه هستند که با هم نمی‌توانند استفاده شوند؟
روش اول: از کل انواع ادویه‌های قابل ساختن، ادویه‌هایی که این دو نوع با هم در ساخت آن نقش داشته‌اند را حذف می‌کنیم.

 کل ادویه‌ها
$\left( \begin{matrix}
   10  \\
   3  \\
\end{matrix} \right)=120$

112 ادویه ساخته می‌شود. $=\left( \begin{matrix}
   8  \\
   1  \\
\end{matrix} \right)=8\Rightarrow 120-8=112$ ادویه‌هایی که آن دو نوع خاص در آن باشند.
روش دوم:
دو ادویه‌ای که نمی‌توانند با هم ترکیب شوند را جدا می‌کنیم، پس یا دو ادویه در ترکیب نیستند، یا فقط یکی از آنها در ترکیب هست:

$\left( \begin{matrix}
   8  \\
   3  \\
\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}
   8  \\
   2  \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
   2  \\
   1  \\
\end{matrix} \right)=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2}+\frac{8\times 7}{2}\times 2=56+56=112$

پ) سه ادویه هستند که نباید هر سه با هم استفاده شوند؟
از کل ادویه‌های ممکن ادویه‌ای که با این سه تا ساخته می‌شود را حذف می‌کنیم:

$\left( \begin{matrix}
   10  \\
   3  \\
\end{matrix} \right)-1=120-1=119$

ت) ادویه‌ها به 2 دسته 5 تایی تقسیم می‌شوند که هیچ یک از ادویه‌های دسته اول با هیچ یک از ادویه‌های دسته دوم سازگاری ندارند؟

8- مسئله‌ای طرح کنید که جواب آن برابر باشد با:
الف) $\left( \begin{matrix}
   5  \\
   3  \\
\end{matrix} \right)\times \left( \begin{matrix}
   6  \\
   2  \\
\end{matrix} \right)$
درون کیسه‌ای 5 مهره قرمز و 6 مهره آبی قرار دارد. به چند طریق می‌توان 5 مهره از این کیسه خارج کرد به طوری که 3 تا قرمز و 2 تا آبی باشد؟
ب) $\left( \begin{matrix}
   5  \\
   3  \\
\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}
   6  \\
   2  \\
\end{matrix} \right)$
تیم فوتبال $A$ برای تکمیل شدن می‌تواند با دو دفاع وسط یا 3 هافبک دیگر قرارداد امضا کند. اگر 5 هافبک و 6 دفاع وسط در لیست این تیم باشند، به چند طریق این تیم تکمیل می‌شود؟